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数学课程标准(二)

[日期: 2004-04-28 09:46] 来源: 转贴  作者:教育部  点击数: 次  打印 分享到:

第四部分 课程实施建议

                第一学段(1~3年级)

  一、教学建议

  数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
  数学教学,要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设生动有趣 的情境,引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动,使学生通过数学活动,掌握 基本的数学知识和技能,初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题,激发对数学的兴趣 ,以及学好数学的愿望。
  教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者;要根据学生的具体情况 ,对教材 进行再加工,有创造地设计教学过程;要正确认识学生个体差异,因材施教,使每个学生都 在原有的基础上得到发展;要让学生获得成功的体验,树立学好数学的自信心。

  (一)让学生在生动具体的情境中学习数学

  在本学段的教学中,教师应充分利用学生的生活经验,设计生动有趣、直观形象的数学 教学活动,如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等,激发学生的学习兴趣,让学生 在生动具体的情境中理解和认识数学知识。例如,教师可引导学生进行如下的游戏活动。
  例1 两个同学一组做猜数游戏。
  甲:我想了一个两位数,你猜猜是多少?
  乙:这个数比50大吗?
  甲:对。
  乙:比70小吗?
  甲:对。
  乙:比60大吗?
  甲:不对。
  乙:比56大吗?
  ……
  教师可以利用上述游戏,引导学生开展有趣的数学活动,使学生在体会数的大小的同时,还 能学到一种解决问题的有效策略,其中包含着朴素的用"区间套"逐步逼近的思想。

  (二)引导学生独立思考与合作交流

  动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。在本学段的教学中,教师要让 学生在具体的操作活动中进行独立思考,鼓励学生发表自己的意见,并与同伴进行交流。教 师应提供适当的帮助和指导,善于选择学生中有价值的问题或意见,引导学生开展讨论,以寻找问题的答案。
  例2 旋转转盘(见右图),指针落在阴影区域的可能性大,还是落在白色区域的可能性大?


  在教学中,教师可以首先将学生分组,让每一个学生预先猜测指针会停在哪一个区域内 ,然后动手旋转转盘。学生在亲自旋转转盘的过程中体会到,当转盘没有停下来以前,指针 落在阴影区域还是落在白色区域是不确定的,通过多次旋转后,学生逐渐体会到指针落在 阴影区域和落在白色区域的次数不一样,停在白色区域的次数比落在阴影区域的次数要多, 即指针落在白色区域的可能性比指针落在阴影区域的可能性大。在学生动手操作的基础上,教 师可以引导学生开展讨论,交流自己的感受。
  在"空间与图形"部分的教学中,教师应设计丰富多彩的活动,使学生通过观察、测量、折 叠、讨论,进一步了解自己所生活的空间,认识一些常见的几何体与平面图形。例如,在辨 认长方体、正方体、圆柱和球的教学中,教师应从学生熟悉的实物(如篮球、乒乓球、饮料 瓶、万花筒、粉笔盒、牙膏盒、地球仪等)中选取素材,鼓励学生进行观察、触摸、分类等活动,形成对有关几何体的直观感受。又如,教学中可以设计下面的活动:让4名同学分别 坐在4个方向,观察同一个物体(如水壶、茶杯等),先把自己看到的画下来,然后组织学 生交流,猜一猜某幅画是谁画的,他坐在哪个位置。学生通过观察、比较、想像,体会到在 不同的方向看到的是不一样的,逐步发展空间观念。

  (三)加强估算,鼓励算法多样化

  估算在日常生活中有着十分广泛的应用,在本学段教学中,教师要不失时机地培养学生的估 算意识和初步的估算技能。
  例3 小明家养鸡的收入是243元,养猪的收入是479 元。估计这两项收入一共多少元?
  不同学生的估算策略可能有所不同,有的学生认为:"200加400等于600,43加79大于100 ,因此它们的和比700多一点";有的学生估算的方法可能是:"243小于250,479小于500 ,因此它们的和比750小";有的学生可能说:"这个数比200+400大,比300+500 小", 这些都是正确的。教师应组织学生交流各自的估算方法,比较各自估算的结果,逐 步发展学生的估算意识与策略。
  由于学生生活背景和思考角度不同,所使用的方法必然是多样的,教师应尊重学生的想法,鼓励学生独立思考,提倡计算方法的多样化。如对于计算34+27的问题,学生可以采取多种 方法,以下列举的方法都应当受到鼓励。
  (1) 3 4
    + 2 7
     6 1

  (2) 34+27
  =34+20+7
  =54+7
  =61

  (3) 30+20=50
  4+7=11
  50+11=61
  34+27=61

  (4) 34+27
  =34+6+21
  =40+21
  =61

  教师不要急于评价各种算法,应引导学生通过比较各种算法的特点,选择适合于自己的 方法。
  又如,解决"在开家长会时,每张长凳最多坐5人,33位家长至少需要准备几张长凳"这 个问题时,学生的思考方法可能是多样的。有的学生借助学具,用小棒代表长凳,用圆片代 表家长,在操作中得出至少应准备7张长凳;有的学生通过计算33÷5,判断至少应准备7张 长凳;有的学生则用乘法,5×7=35,35>33,而5×6=30,30<33,因此至少要准备7张 长凳。对于这些方法,教师都应该加以鼓励,并为学生提供交流的机会,使学生在相互交流 中不断完善自己的方法。这样不仅可以帮助教师了解不同学生的学习特点,而且有助于促进 学生个性的发展。同时,教师应经常要求学生思考这样的问题:你是怎样想的?刚才你是怎 么做的?如果……怎么样?出现什么错误了?你认为哪个办法更好?……以此来引导学生思 考并交流解决问题的方法。

  (四)培养学生初步的应用意识和解决问题的能力

  在本学段的教学中,教师应该充分利用学生已有的生活经验,随时引导学生把所学的数学 知识应用到生活中去,解决身边的数学问题,了解数学在现实生活中的作用,体会学习数学 的重要性。例如,教师可以引导学生解决如下的开放性问题。
  例4    27人乘车去某地,可供租的车辆有两种:一种 车可乘8人,另一种车可乘4人。
        (1) 给出3种以上的租车方案;
        (2) 第一种车的租金是300元/天,第二种车的租金是200元/天,哪种方案费用最少?
  实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。在本学段,教师应组织学生开展 生动有趣的活动,使学生经历观察、操作、推理、交流等过程。

  二、评价建议

  评价的目的是全面了解学生的学习 状况,激 励学生的学习热情,促进学生的全面发展。评价也是教师反思和改进教学的有力手 段。
  对学生数学学习的评价,既要关注学生知识与技能的理解和掌握,更要关注他们情感与态度 的形成和发展;既要关注学生数学学习的结果,更要关注他们在学习过程中的变化和发展。 评价的手段和形式应多样化,应以过程评价为主。对评价结果的描述,应采用鼓励性语言, 发挥评价的激励作用。 评价要关注学生的个性差异,保护学生的自尊心和自信心。 教师要 善于利用评价所提供的大量信息,适时调整和改善教学过程。

  (一) 注重对学生数学学习过程的评价

  本学段对学生学习过程的评价,应该考察学生是否积极主动地参与数学学习活动,是否乐意 与同伴进行交流和合作,是否具有学习数学的兴趣。 教师还应重视了解学生数学思考的过 程,可以让学生在解决问题时,说一说他的思考过程。
  例1 测一测,你能将实心球投多远?
  在上述活动中,我们首先要考察学生的参与程度,了解学生能否独立地提出测量的方案,能 否与他人合作共同解决问题,能否将自己的方法和解决问题的过程与他人进行交流。 同时 也 要了解学生在活动中运用知识解决问题和进行数学思考的情况。 学生可能有以下几种表现 : (1)按照教师指导的方法进行测量; (2)自己想出其他的测量方法(如步测、用绳子量 、 用米尺量、用卷尺量等); (3)通过小组合作,探索用多种方法进行测量,交流不同的测 量方法; (4)用多种方法测量,并简单地解释测量方法的合理性。 比如,如果一个学生 投 出的距离超过了3米,用米尺量这段距离会有一定的误差,因为量的过程可能不是一条直线 ,而用卷尺量更精确一些。 教师可以根据学生在活动过程中的上述表现进行分析和评价。
  在评价学生的学习过程时,可以采用建立成长记录袋的方式,以反映学生学习数学的进步历 程,以增强他们学好数学的信心。教师可以引导学生自己在成长记录袋中收录反映学习进步 的重要资料,如最满意的作业、最喜爱的小制作、印象深刻的问题和解决过程、阅读数学读 物的体会,等等。

  (二) 恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握

  本学段对基础知识和基本技能的评价,应遵循《标准》的基本理念,以本学段的知识与技能 目标为基准,考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。
  应当强调的是,学段目标是本学段结束时学生应达到的目标,应允许一部分学生经过一段时 间的努力,随着知识与技能的积累逐步达到。 如,下表所列出的对计算的要求,并不是在 学 完相应的内容后所有学生都应马上达到,而是在本学段结束时应达到的目标,评价时应注意把握尺度。

学习内容

速度要求

20以内的加减法和表内乘除法口算

每分8~10题

三位数以内的加减法

每分2~3题

两位数乘两位数

每分1~2题

除数是一位数、被除数不超过三位数的除法

每分1~2题

本学段学生往往需要借助具体事物或实物模型完成学习任务。 因此,对学生评价时, 应重点考察学生结合具体材料对所学内容实际意义的理解。
  对数与代数内容的评价,应结合具体情境,考察儿童对数的意义的理解。 比如对分数意义 的理解可以在以下的情境中进行考察。

  例2 (1)下图中阴影部分占整个图形的几分之几?
  (2)请你用图形表示四分之一。
  对空间与图形内容的评价,要结合直观素材和生活情境评价学生对图形的认识。 如,可利 用下面的问题考察学生的空间观念。

对统计与概率内容的评价,应结合生活情境考察学生初步的统计意识和解决简单问题的能力 。 如在准备班级活动时,为了确定要购买水果的种类和数量,可让学生调查全班同学最喜 欢 吃的水果种类和相应人数。在评价时,可以主要考察以下几方面:学生能否在教师的指导 和 帮助下,运用适当的方法去收集喜欢吃各种水果的人数;在收集数据的基础上,能否将这些 数据进行分类、整理和描述(如能说“我们班喜欢吃苹果的人数最多,喜欢吃梨的人数还 不到喜欢吃苹果的人数的一半”等等);能否确定自己的购买方案。

  (三) 重视对学生发现问题和解决问题能力的评价   对学生发现问题和解决问题能力的评价,要注意考察学生能否在教师指导下,从日常生活中 发现 并提出简单的数学问题;能否选择适当的方法解决问题;是否愿意与同伴合作解决问题;能 否表达解决问题的大致过程和结果。 如,教师可以让学生从日常生活中提出各种问题:谁 的 铅笔多,谁的个子高,谁的家离学校近……教师可以根据学生提出问题的数量和质量,给予 定性评价。

  (四)评价方式要多样化

  这一学段的儿童刚刚进入学校,他们对数学的感受对于今后是否喜欢数学学习、能否学好数 学十分关键。 因此,教师对儿童的评价应尽量从正面加以引导,肯定他们知道了什么、掌 握 了什么。 对学生进行评价时,应把教师评价与同伴互评和家长评价相结合。 对学生学习情 况 的评价应注意多种评价形式相结合,采用课堂观察、课后访谈、作业分析、操作、实践活动 等多种形式。
  每种评价方式都有自己的特点,评价时应结合评价内容与学生学习的特点加以选择。比如, 教师可以选择课堂观察的方式,从学习数学的认真程度,基础知识和基本技能的掌握情况, 解决问题和合作交流四个方面对学生进行考察。教师还可以从学习活动中了解学生的学习态 度和合作交流的意识,从平时作业中了解学生计算技能的掌握情况,从成长记录中了解学生 提出问题和解决问题能力的发展。

  (五)评价结果以定性描述的方式呈现

  针对本学段学生的特点,评价结果的呈现应采用定性描述的方式,用鼓励性的语言描述学生 数学学习的情况。
  下面是一个评语的例子:"小红在本学期数学学习中,能认真完成每一次作业,积极参与小 组的讨论,愿意倾听其他同学的发言。乐于提出问题,常常能想出与同学不同的方法解决问 题。在计算的正确性方面需要进一步提高。"这样的评语以鼓励为主,同时也指出了学生需 要努力的方向。

  三、教材编写建议

  教材为学生的学习活动提供了基本线索,是实现课程目标、实施教学的重要资源。教材编写 应以《标准》为基本依据,要充分提供有趣的、与儿童生活背景有关的素材,题材宜多样化 ,呈现方式应丰富多彩。教材的编写应有助于确立学生在教学过程中的主体地位,激发学生 的学习兴趣,引导学生在积极思考与合作交流中获得良好的情感体验,建构自己的数学知识 。教材的编写还要有利于调动教师的能动性,创造性地进行教学。
  考虑到不同学生之间的差异,在保证基本要求的前提下,教材应体现出自己的特色,并具有 一定的弹性。教材编写时,应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。

  (一)选取密切联系学生生活、生动有趣的素材

  在本学段教材编写中,应力求从学生熟悉的生活情境与童话世界出发,选择学生身边的、感 兴趣的事物,提出有关的数学问题,以激发学生学习的兴趣与动机,使学生初步感受数学与 日常生活的密切联系。
  教材所选取的素材,要使得学生能比较容易地找到相应的实物或者模型。例如,对于统 计内容的学习,可以选取文具、玩具、食物、水果、校园里的事物作为统计对象;对于概率 内容的学习,可以把1支红小棒、5支白小棒放在一个口袋里,让学生预测摸出什么颜色的小 棒可能性大。这样的设计,既便于教师组织教学,也利于学生进行操作。
  实践活动素材的选择,要符合学生的年龄特征与生活经验,提供具体、有趣、富有一定启发 性的活动(如数学游戏),让学生经历应用数学知识分析问题和解决问题的过程,积累数学 活动的经验。如新年前夕班里准备开联欢会,需要买水果,你认为买哪种水果好些?这是一 个与学生生活密切相关的问题,为了解决这个问题,学生要调查全班同学每人最喜欢吃的一 种水果,再根据统计结果进行分析,做出合理的决策。

  (二)为学生提供积极思考与合作交流的空间

  教材的编写要有利于学生进行观察、实验、操作、推理、交流等活动。无论是新课题的引 入还是教学内容的展开,都应力求创设具有启发性的问题情境,体现知识的形成过程。教材 可以设立"看一看""做一做""想一想""说一说""读一读"等栏目,引导学 生进行自主性的学习活动;还可以适当提供开放性的问题和合作交流的机会,为学生拓展探 索的空间。如在认识加法时,可采用如下素材,让学生自己去发现一些数量关系,并解释加 法算式的实际意义。

 在上例所提供的问题情境中,有3个小孩在玩耍,背景还有3棵树。这3个小孩可以根据 游戏中的角色分工或者性别分为两类,这3棵树也可以根据所处的位置或大小分为两类。因 此,这个问题情境就蕴含着丰富的数学信息,学生可以从不同的角度对算式2+1=3的实际意 义作出解释。通过提供这样的探索与交流活动,可以使学 生更好地体会加法运算的意义。
  又如,在认识东、南、西、北等方向时,教材可提供以下的实践活动。
  例1 在操场上,师生一起辨认东、南、西、北。
  (1) 看一看东、南、西、北四个方向上各有什么。
  (2) 把看到的物体记录下来。
  (3) 把你的记录纸贴在黑板上,互相看看有什么不同。
  (4) 根据你的记录完成下图。

  (三) 呈现方式要丰富多彩

  本学段学生以形象思维为主,在教材编写时,应采用多种多样的形式(如图片、游戏、卡 通、表格、文字等),直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材,提高学生的学习兴趣, 满足多样化的学习需求。
  例2 袋鼠经营的商店有16支铅笔,小兔买走了9支, 还剩多少支?

  该例可以采用系列的卡通图画来呈现问题情境以及计算16-9的多种方法。如,小老鼠一根 一根地减; 小兔子把16分成10和6, 10-9=1,1+6=7;小山羊把9分成 6和3,16-6=10,10-3=7;狗先生说:"还可以这样算,9+7=16,16-9=7。"
  例3 某班要举行一次朗诵比赛,每位学生的朗读时间规 定为3分。一位同学选了一篇930字的文章,在赛前试读时,他用了6分,怎么办?
  该例可采用对话的形式呈现解决问题的思考过程。
  素材呈现方式的多样化有利于学生展开学习活动,促进独立思考以及在小组中的合作 与交流。


  

  (四) 重要的数学概念与数学思想宜逐步深入

  根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点,一些重要的数学概念与数学思 想方法应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排,以便逐步实现本学段的学 习目标 。按这种方式编排的有关内容,既要注意其间的承继关系,又要避免不必要的重复。
  如对"图形的认识"内容的学习,可以自"从不同位置观察物体"的学习开始,通过设计从 上面、侧面等不同位置观察小汽车、茶壶等实物,使学生知道从不同位置看到的形状是不一 样的;以后,再引导学生从上面、正面、侧面观察图形(正方体、长方体等);进一步,还 可以设计搭摆立方块的活动,如由3个立方块搭成的立体,从上面看,形状是 ,这个立体是什么形状?搭一搭,有几种搭法?如果这个形状是从正面看到的,这个立体是什么形状?还可以提供进一步的问题,如:有一个由4个立方块搭成的立体,从上面看,形状是__你能想像这个立体是什么形状吗?对于更多个立方块的情况,可以在第二 学段或第三学段出现。

  (五)内容设计要有一定的弹性

  《标准》所列出的目标是全体学生都应达到的基本要求,教材编写必须明确这些基本 要求,不要任意拔高,以确保基本要求的实现。另一方面,由于各地区、各学校以及学生个 人之间存在着差异,教材编写应体现一定的弹性,以满足学生的不同学习要求,使全体学生 都能得到相应的发展。
  具体的设计方式可以就同一问题情境提出不同层次的问题,如一些具有现实背景的开放 性问题和探索规律的问题,使每个学生都能对其中的一些问题给出自己的想法、获得成功的 体验。教材中还可以设计一些生动有趣的材料供学生选择阅读。 例如,在学习了乘法计算 之后,可以安排如下的活动:某花店有若干种标明价格的花,让学生提出不同的问题。面对 这样的素材,不同的学生会提出不同的问题,如,5枝玫瑰花需要多少钱?10元钱可以配哪 些花?
  实践活动这部分内容的设计要使所有的学生都能参与,让不同的学生获得不同的体验和发 展。如,七巧板拼图就是一个学生都喜欢参与的活动。学生的拼图作品寓意不同,逼真程度 各异,充分表现了他们各自的想像力与创造性。

  (六)介绍有关的数学背景知识

  教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料,使学生了解数 学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要,体会数学在人类发展历史中的作用,激发学 生学习数学的兴趣。这部分内容的学习可以采用阅读材料的形式呈现。具体内容的介绍,应 从学生的年龄特点出发,做到浅显具体、生动有趣。
  本学段教材中可以呈现如下的数学史料:介绍数的概念的起源,使学生体会数起源于"数 "(shǔ),量起源于"量"(liáng);介绍数的原始表示法(结绳记 数与刻痕记数); 通过历史资料使学生体的双重含义--作为位值制记数法中的空位记号与作为一个 独立的数;通过原始社会石器与陶器的几何形状和图案介绍原始人对简单形状与图案的认识 ,使学生感受到现实生活中充满了图形。

第二学段(4~6年级)

一、教学建议

 

  数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
  数学教学,要紧密联系学生的生活环境,从学生的经验和已有知识出发,创设有助于学生自 主学习、合作交流的情境,使学生通过观察、操作、归纳、类比、猜测、交流、反思等活动 ,获得基本的数学知识和技能,进一步发展思维能力,激发学生的学习兴趣,增强学生学好 数学的信心。
  教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源,创造性地 使用教材,设计适合学生发展的教学过程。要关注学生的个体差异,使每一个学生都有成功 的学习体验,得到相应的发展;要因地制宜、合理有效地使用现代化教学手段,提高教学效 益。

  (一)让学生在现实情境中体验和理解数学

  在本学段的教学中,要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的,又是学生感兴趣的 学习情境,让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形 成与发展的过程,获得积极的情感体验,感受数学的力量,同时掌握必要的基础知识与基本技能。
  例如,计算教学应注意与学生的现实生活相联系,让学生感受到通过计算可以解决一些 实际问题。如,我们可以让学生估计一下,哪个答案接近自己的年龄?(①500分;②500周 ; ③500时;④500月)学生可能会运用不同的方法进行猜测。此时,教师可以进一步引导学 生如何知道自己的猜测是准确的或比较准确的。为了回答这个问题,学生将会进行必要的计 算,从而体会计算的必要性,在具体的计算中,可以鼓励学生使用计算器。
  又如,在空间与图形的教学中,应充分利用学生生活中的事物,引导学生探索图形的特征, 丰富空间与图形的经验,建立初步的空间观念。教学中可以组织学生分小组到操场上选定一 个建筑物,让学生站在不同角度看这个建筑物,体会从不同的角度看同一个物体时,所看到 的形状的变化,并用简单的图形画下来。也可让学生根据下面的要求在方格纸上画出示意图 :假设科技馆在学校的正东方向500 米处,小红家在学校北偏西60°方向300 米处,医院 在 学校正南方向1 000米处,汽车站在学校南偏西30°方向400 米处。学生可以根据这些信 息 ,在方格纸上确定适当的单位距离,标出相对位置后,教师应及时组织学生进行交流,逐步 发展学生的空间观念。

  (二)鼓励学生独立思考,引导学生自主探索、合作交流

  数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例 题、示范、讲解为主的教学方式,引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。
  例 在下面的横线上填数,使这列数具有某种规律,并 说明有怎样的规律。
  3 ,5 ,7 , , , 。
  教师首先应鼓励学生通过独立思考,从不同的角度去探究可能隐含的规律,并在全班进 行交流。在解决这个问题时,只要学生给出一个答案,并能作出合理的解释,就应该给予肯 定。下面是学生可能给出的一些答案:
  (1)在横线上依次填入9 ,11 ,13,形成奇数列。
  (2)在横线上依次填入11,17,27,使这列数从第三个数开始,每个数都是前两个数的和 减1。
  (3)在横线上依次填入27,181,4 879,使这列数从第三个数开始,每个数都是前两个 数的积减8 。
  这样的教学有利于培养学生独立思考、合作交流的能力,有利于培养学生寻求数的规律 的能力,比单纯地做几道计算题更具有挑战性,也更有趣。
  为了使学生更好地进行独立思考、合作交流,教师应鼓励学生发现问题、提出问题,敢 于质疑,乐于交流与合作。要防止学生的合作流于形式,强调在个人独立思考基础上的合作 ,以及通过合作与交流来开拓思路。

  (三)加强估算,鼓励解决问题策略的多样化

  估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用,培养学生的估算意识,发展学生的 估算能力,让学生拥有良好的数感,具有重要的价值。
  如,一本书12元,全班48人,每人买一本大约需要多少钱?教学中应充分鼓励学生交流各自 的估算方法,可以是10×50=500,认为500元左右;也可以是12×50=600,不到600元;还 可以 是10×48= 480,肯定比480元多。不同的学生可能会有不同的估算方法,教师应该为他们提 供相互交流的机会。
  教学中应尊重每一个学生的个性特征,允许不同的学生从不同的角度认识问题,采用不 同的方式表达自己的想法,用不同的知识与方法解决问题。鼓励解决问题策略的多样化,是 因材施教、促进每一个学生充分发展的有效途径。例如,在学习两位数乘法时,可以鼓励学 生运用自己已有的知识背景,探求计算结果,而不宜教师首先示范,讲解竖式笔算的法则和 算理,限制学生的思维。可以出示带有实物图的问题:一箱汽水24瓶,18箱汽水有多少瓶? 先让学生估计一下大约有多少瓶,然后再设法算出结果。学生可能会出现以下一些算法:

  24×10+24×8=432   24×20-24×2=432
  20×18+4×18=432   24×2×9=432
  24×3×6=432     18×4×6=432
  18×3×8=432

  也可能有学生会用竖式计算出结果。在学生独立思考解决这个计算问题的基础上,进行小组 交流,每个学生都发表自己的观点,倾听同伴的解法,感受解决问题策略的多样化与灵活性 ,并比较不同方法的特点,在保证每个学生基本运算技能的前提下,不同的学生得到不同的 发展,有的学生可能会掌握多种不同的方法,并能很好地表达自己的解题思路。
  又如,在一个农场里,鸡和兔共22 只,它们的脚共有58 只,鸡和兔各有几只?
  对这一问题的解决应鼓励学生采用多种策略:
  1.试误与检验:可以让学生猜测鸡、兔的只数。假如学生经过几次猜测之后,找到了正 确答案,教师可以请他们回顾一下猜测的过程,获得一些有益的解决问题的经验。
  2.列举:可以引导学生借助表格将"1只鸡,21只兔"一直到"21只鸡,1只兔"的所有情 形下的脚的数量列举出来,从而解决问题。
  3.寻找规律:可以在让学生列举部分情况的基础上,引导学生从表格中寻找规律以解决问题。


二、评价建议

 

  评价的目的是全面考察学生的学习状况,激励学生的学习热情,促进学生的全面发展 。 评价也是教师反思和改进教学的有力手段。
  对学生数学学习的评价,既要关注学生知识与技能的理解和掌握,更要关注他们情感与态度 的形成和发展;既要关注学生数学学习的结果,更要关注他们在学习过程中的变化和发展。 评价的手段和形式应多样化,应重视过程评价,以定性描述为主,充分关注学生的个性差异 ,发挥评价的激励作用,保护学生的自尊心和自信心。 教师要善于利用评价所提供的大量 信息,适时调整和改善教学过程。

(一) 注重对学生数学学习过程的评价

  在评价学习的过程时,要关注学生的参与程度,合作交流的意识与情感、态度的发展。 同时,也要重视考察学生的数学思维过程。 对参与程度的评价,应从学生能否主动参与数学学 习 活动等方面进行考察。对学生合作交流意识的评价,应从学生是否主动地与同学合作、是 否 认识到自己在集体中的作用、是否愿意与同伴交流各自的想法等方面考察。对学生情感与 态 度的评价,教师应结合具体的教学过程和问题情境,随时了解每一个学生学习的主动性、学习数学的自信心和对数学的兴趣。对数学思维过程的评价,教师可以通过平时观察了解学 生思维的合理性和灵活性,考察学生是否能够清晰地用数学语言表达自己的观点等。
  建立成长记录是学生开展自我评价的一个重要方式,它能够反映出学生发展与进步的历程。 成长记录中的材料应让学生自主选择,并与教师共同确定。例如,在对综合应用部分进行评 价时,学生可以利用成长记录袋收集以下资料,以反映自己的探索过程与取得的进步:
(1)在日常生活中发现的数学问题;
(2)收集的有关资料;
(3)解决问题的方案和过程;
(4)活动报告或数学小论文;
(5)解决问题的反思。

  (二)恰当评价学生的基础知识和基本技能

  本学段对基础知识和基本技能的评价,应遵循《标准》的基本理念,以本学段的知识与技能 目标为标准,考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是,学段目标 是本学段结束时学生应达到的目标,应允许一部分学生经过一段时间的努力,随着数学知识 与技能的积累逐步达到。对此,教师可以选择推迟作出判断的方法。如果学生自己对某次测 验的答卷觉得不满意,教师可鼓励学生提出申请,并允许他们重新解答。当学生通过努力, 改正原答卷中的错误后,教师可以就学生的第二次答卷给以评价,给出鼓励性的评语。这种 "推迟判断"淡化了评价的甄别功能,突出反映了学生的纵向发展。特别是对于学习有困难 的学生而言,这种"推迟判断"能让他们看到自己的进步,感受到获得成功的喜悦,从而激 发新的学习动力。
  评价应结合实际背景和解决问题的过程进行,对概念、公式和法则的评价应当更多地关注对 知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。
  对数与代数学习的评价,应主要考察学生对数与运算意义的理解和应用。 包括以下几个方 面 :能否运用数与计算的知识描述并解决实际问题;是否能够运用合理的计算策略正确地进行 运算;是否有对计算结果进行估算和验算的习惯;能否有效地利用计算器探求规律。
  对空间与图形学习的评价,应结合具体的情境,评价学生对图形基本性质的认识和空间观念 的发展。 如,针  对"能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置"这一目标,教师可 以设计如下问题。


  例1 A,B,C三个侦察员,从三个方位观察一间房子, 分别标出A,C两个侦察员看到的情形,B呢?

  对统计和概率学习的评价,重点应放在考察学生是否理解各种统计图表的特征和统计量的意 义, 能否选择适当的统计图表和统计量来表达数据,是否体会事件发生可能性大小的意义等。 而纯粹的计算题,如计算给定数据的平均数不应当成为评价的主要内容。
  对于综合应用的评价,很难在一次书面考试中完成。 因此,教师应注重评价学生参与活动 的过程,不宜把这一类活动或问题纳入书面考试(或测验)的范围之中。

(三)重视评价学生发现问题、解决问题的能力

  对学生发现问题、解决问题的能力可以从以下方面进行考察:能否从现实生活中发现和提出 数学问题;能否探索出解决问题的有效方法,并试图寻找其他方法;能否与他人合作;能否 表达解决问题的过程,并尝试解释所得结果;是否具有回顾与分析解决问题过程的意识。 例如,可以设计如下问题考察学生解决问题的能力。
  例2 用一根长为50厘米的细绳围成一个长方形,怎样才能使它的面积最大?
  针对这个问题,教师首先要考察学生是否能围出不同的长方形,并按照一定的规律将这些长 方形排列,是否能发现面积与长和宽的关系, 从而进一步猜测到当围成一个正方形时,它 的面积最大。

(四)评价主体和方式要多样化

  本学段的学生在自主性和独立性方面比第一学段相对加强。 因此,在评价学生学习时,应 让 学生开展自评和互评,而不仅仅局限于教师对学生的评价,也可以让家长和社区有关人员参 与评价过程。评价方式应当多种多样,既可用书面考试、口试、活动报告等方式,也可用课 堂观察、课后访谈、作业分析、建立学生成长记录袋等方式。
  每种评价方式都具有各自的特点,教师应结合评价内容及学生学习的特点,选择适当的评价 方式,以考察学生的学习情况,反映学生的进步历程。教师可以从基础知识的掌握情 况、作 业的认真程度、解决问题能力的发展和合作交流的技能四个方面进行考察。例如,可以从作 业中了解学生计算技能掌握的情况,通过课堂观察了解学生学习的态度,从成长记录中了解 学生提出问题和解决问题的意识和能力,从小组讨论中了解学生合作交流的意识与技能。

  (五) 评价结果要采用定性与定量相结合的方式呈现,以定性描述为主

  在呈现评价结果时,应采用定性与定量相结合,以定性描述为主的方式。 定量评价可采用 等 级制的方式。 定性描述可以采用评语的形式,更多地关注学生已经掌握了什么,获得了哪 些 进步,具备了什么能力。 使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心,提高学生学 习数学的兴趣,促进学生的发展。
  下面是一个评语的例子:"本学期我们学习了收集、整理和表达数据。小明通过自己的努力 ,能收集、记录数据,知道如何求平均数,了解统计图的特点,他制作的统计图很出色,在 这个方面是全班最好的。但他在使用语言解释统计结果方面有一定困难。继续努力,小明! 评定等级,B。"
  学生阅读了这个以定性为主的评语,实际上也是与教师的一次情感交流,他获得了成功的体 验,树立了学好数学的自信心,也知道了哪些方面应该继续努力。

 

三、教材编写建议

 

  教材为学生的学习活动提供了基本线索,是实现课程目标、实施教学的重要 资源。教材编写 应以《标准》为依据,提供的素材要密切联系生活实际,让学生体会到数学在生活中的作用 ;题材应丰富多样,呈现方式应丰富多彩。教材的编写应有利于激发学生的学习动机,引导 学生从已有的经验和知识出发,通过独立思考和合作交流,体验知识的发生与发展过程。教 材的编写还要有利于调动教师的主动性和积极性,鼓励教师进行创造性教学。重要的数学概 念与数学思想的呈现应体现螺旋 上升的原则,逐步加深学生对数学知识、方法的理解。
  考虑到不同学生之间的差异,在保证基本要求的前提下,教材应体现出自己的特色,并具有 一定的弹性。教材编写时,应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。


(一) 选择具有现实性和趣味性的素材

  相对第一学段而言,本学段学生的生活经验和知识背景更为丰富,他们更多地关注周围 的人和事,有进一步了解现实世界、解决实际问题的欲望。因此,素材要密切联系学生的现 实生活,运用学生关注和感兴趣的实例作为认识的背景,激发学生的求知欲,使得学生感受 到数学就在自己的身边,与现实世界密切联系。
  例如,本学段学生对数的认识已从第一学段的万以内扩展到亿以内,而他们缺乏对大数 的直接感受。因此,本学段选择的学习素材,应有利于学生对大数的感受,要从学生身边熟 悉的事物中选取素材,使学生逐步地由较小的数去把握较大的数。
  例1 测量你 1分心脏跳动的次数,进而推算你1时 、1天心脏跳动的次数。你的心脏大约在多少天内跳动 100万次?
  教材应当选取一些具体的模型和图形,从这些模型和图形出发认识有关的内容。例如,对于 "辨认从正面、侧面和上面看到的形状"这个内容标准,可以以实物和模型等不同的方式呈 现。再如设计图案,可以直接从学生学过的各种图形出发,讨论用这些图形通过什么样的方 式可以设计出美观的图案。对于图形与变换、图形与坐标的内容,教材应选取学生身边的实 例为素材,如物体做直线运动、栽树时将树苗扶正、学校主要建筑物的平面示意图等。
  教材还可以从报刊、杂志、广播和电视等媒体上选取一些合适的素材,以适当的方式呈现给 学生,从而激发学生的学习热情和主动探究的精神,鼓励学生与同伴合作,并能够与同伴交 流自己的想法。


  例2 由人口统计年鉴,可查得某地1949年至1994年 期间每隔5年的人口数据(如下表):

年 份/年

1949

1954

1959

1964

1969

人口数/万人

4

4.8

5.9

7.4

9.6

年 份/年

1974

1979

1984

1989

1994

人口数/万人

13.7

18

22.4

27.1

33.8

  教材可以引导学生对这组数据进行分析,进而对于人口变化情况有所了解,渗透函数的思想。  (二)给学生提供探索与交流的空间

  教材要为学生留有足够的探索和交流的空间,以有利于改变学生的学习方式。教材的编 写要 体现知识的形成过程,使学生在经历知识形成的过程中,探索和理解有关的内容。问题的设 置要具有启发性,问题的呈现要有利于展开观察、实验、操作、推理、交流等活动,也可以 通过设立"看一看、做一做、想一想、议一议"等栏目,引导学生进行探索与交流。

  例3 在五行五列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动 骰子,骰子在棋盘上只能向它所在格的 左、右、前、后格翻动。开始时骰子在3C处,如图所示:


  (1) 将骰子从3C处翻到3B处,骰子的形态如下图。
  (2) 再将骰子从3B处翻到2B处,骰子的形态如右图。
  (3) 继续将骰子从2B处翻到2A处,朝上的一面为 。
  (4) 最后将骰子从2A处翻到1A处,朝上的点数为 。
  想一想
  如果从3C处开始,要使

  ····
  朝上,可以怎样翻动?这时骰子在什么位置?
  做一做

  在小组内交流一下你的想法,再实际操作一下,与想像的结论一致吗?
  这种问题具有很强的探索性和开放性,对于发展学生的空间观念具有很好的促进作用。 同时,由于学生可以通过操作、想像或二者相结合等多种方式解决这个问题,所以学生可以 从中得到不同的发展。

(二) 呈现方式要丰富多彩

  与第一学段相比,本学段的教学内容出现了一定量的文字和符号,所以教材的呈现方式应在 图文并茂的同时,逐渐增加数学语言的比重,可以运用学生感兴趣的图片、游戏、表格、文 字等形式,直观形象地呈现教材的内容。如对于如何估计一堆钉子的数量这种素材,教材可 以用一组图片来呈现学生活动的场景,不同的图片呈现不同的活动方式;也可以用一组卡通 图片来呈现;还可以有文字叙述,以有利于激发学生的学习兴趣。

第三学段(7~9年级)

一、教学建议

  数学教学是数学活动的教学,是师生之间 、学生之间交往互动与共同发展的过程。
  数学教学应从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思 考、探索、交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习, 促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
  在教学活动中,教师应发扬教学民主,成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者;要善 于激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践;要创造性地使用教材,积极开发、利用 各种教学资源,为学生提供丰富多彩的学习素材;要关注学生的个体差异,有效地实施有差 异的教学,使每个学生都得到充分的发展;要重视现代教育技术在教学中的应用,有条件的 地区,要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件,提高教学效益。

  (一)让学生经历数学知识的形成与应用过程

  本学段的教学应结合具体的数学内容采用"问题情境-建立模型-解释、应用与拓展"的模 式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义,掌握必要 的基础知识与基本技能,发展应用数学知识的意识与能力,增强学好数学的愿望和信心。
  抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学 习方式。比如函数概念,不应只关注对其表达式、定义域和值域的讨论,而应选取具体实例,使学生体会函数能够反映实际事物的变化 规律。
  

  例1 已知摄氏温度(℃)和华氏温度()有如下关系:

 摄氏温度/℃

0

10

20

30

40

50

华氏温度/

32

50

68

86

104

122

   在平面直角坐标系中,通过描点观察点的分布情况,建立满足上述关系的函数表达式。
  教学中,可指导学生开展如下的活动:
  ①描点:根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。
  ②判断:判断各点的位置是否在同一直线上。(可以用直尺去试,或顺次连接各点,观察所 有的点是否在同一直线上)
  ③求解:在判断出这些点在同一直线上的情况下,选择两个点的坐标,求出一次函数的表达 式。
  ④验证:验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数表达式。
  教师要引导学生在数学知识和方法的应用中,体会数学的价值,增强用数学的意识。如引导 学生用变换的观点解释现实世界中与图形有关的现象,欣赏某些建筑物的对称美;
  让学生自己利用所学知识设计图案。
  又如,教师可以引导学生运用统计与概率的知识讨论下面的问题。  例2 有一则广告声称:"有75%的人使用本公司的 产品。"你听了这则广告后有什么想法?
  通过对这个问题的讨论,学生可以知道对广告中75%这样的数据,要应用统计的观念去分析 。比如,样本是如何选取的、样本的容量多大等。若该公司调查了4个人,其中有3个人用了这个产品,就说"有75%的人使用本公司的产品",这样的数据显然不可信。因此应对这个 数据的真实性、可靠性提出质疑。

三、教材编写建议

   教材为学生的学习活动提供了基本线索, 是实现课程目标、实施教学的重要资源。教材编写 应以《标准》为依据,所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和实际问题, 应当反映一定的数学价值,能够表现出不同内容之间的相互联系。教材内容的编排和呈现要 突出知识的形成与应用过程;应引导学生从已有的知识和经验出发,进行自主探索与合作交 流,并在学习过程中逐步学会学习;应关注对学生人文精神的培养。教材的编写还要有利于 调动教师的主动性和积极性,鼓励教师进行创造性教学。重要的数学概念与数学思想的呈现 应体现螺旋上升的原则,逐步加深学生对数学知识、思想和方法的理解。
考虑到不同学生之间的差异,在贯彻《标准》的基本理念和保证《标准》规定的基本要求的 前提下,教材编写应体现出自己的风格和特色,并具有一定的弹性。教材编写时,应充分考 虑与其他课程资源的开发和利用相结合。

(一) 选取自然、社会与其他学科中的素材

本学段学生的活动空间比第一、二学段有了较大的扩展,学生感兴趣的问题已拓广到客观世 界的许多方面,他们逐渐关注来源于自然、社会与其他学科中更为广泛的现象和问题,对具 有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学 中的现象和问题,应当反映一定的数学价值。
例如,对于统计与概率的内容,在教材编写时应提供足够的现代社会生活中的实例。既可以 从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面寻找素材,也可以从学生的生活实际中提取 他们感兴趣的问题,如对学校周围道路交通状况(运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等 )的调查、对本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论歌手大赛中为 什么要去掉一个最高分和最低分、讨论有奖销售等问题。这样的素材能引导学生更多地着眼 于对实际问题的探索,理解概念的实际意义,在学习数学的同时更好地认识现实世界。
例1 调查学校附近一个人行横道的人流情况,你能就这 个人行横道的安全性和便利性提 出改进意见吗?设计一个调查方案,然后分组进行调查,并在全班交流各组的调查报告。

(二)给学生提供探索与交流的空间

本学段的学生独立思考和探索的愿望和能力有所提高,并能在探索的过程中形成自己的观点 ,能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教材编写时应注意体现这个特点,提供 充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动。
教材可以设置具有挑战性的问题情境,激发学生进行思考;提出具有一定跨度的问题串引导 学生进行自主探索;通过"与同学交流你的想法"等语言鼓励学生进行交流;提供一些开放 性(在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度)的问题,使学生在 探索的过程中进一步理解所学的知识;适当提供需要学生合作交流来解决问题的活动,如设 置探究课题、社会调查等,使学生经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考 问题、尝试解释不同答案合理性的活动,以发展其创新意识和实践能力;提出一些问题,引 导学生对学习过程进行监控和反思。
例2 探索规律。
(1)计算并观察下列每组算式:
8×8=5×5=12×12=
  7×9= 4×6=11×13=
  (2)已知25×25=625,那么 24×26=  。
(3)你能举出一个类似的例子吗?
(4)从以上的过程中,你发现了什么规律,你能用语言叙述这个规律吗?你能用代数式表 示这个规律吗?
(5)你能证明自己所得到的规律吗?

  这个例子通过设置问题串,使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表 示,并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生空间观念的培养、推理能力的发展、对图形美的感受等都建立在经历观察、操作、猜测 、推理、交流等活动的基础上,教材要充分展现这些过程。例如,在安排轴对称内容时,教 材可以呈现徽标、枫叶、雪花等多种图案让学生观察;探索一些图案中蕴涵的轴对称关系; 提供根据轴对称进行图案设计的活动;通过阅读材料等,介绍相关的一些科学道理(如飞机 、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡;建筑上的对称多半是为了美观,但有时也 考虑到使用上的方便和受力平衡等问题);利用对称解决一些有趣的问题。
例3 某汽车的车牌倒映在水中,你能根据水中的影 子确定该车的牌照号码吗?
在学习基本图形基本性质的证明时,教材要设计一系列问题使学生认识到证明的必要性,探 索证明的思路,体验证明的过程要步步有据。

  (三) 体现数学知识的形成与应用过程

本学段的教材应体现从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建 立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程。 教 材中学习素材的呈现力求体现"问题情境-建立数学模型-解释、应用与拓展"的模式,围 绕所要学习的数学主题,选择有现实意义的、对学生具有一定挑战性的、能够表现重要数学 意义、有利于学生一般能力发展的内容,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解 包含该主题的数学模型,判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合,进而获得相应的 数学知识、方法与技能,为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径。通过上述的过程, 学生将逐步掌握基本的数学知识和方法,形成良好的数学思维习惯和应用意识,提高自己解 决问题的能力,感受数学创造的乐趣,增进学好数学的信心,获得对数学较为全面的体验与 理解。
例如,在数与代数中,学生将学习方程、不等式、函数等内容,它们是研究现实世界数量 关系和变化规律的重要数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地描述和把 握现实世界,编写上述内容的教材时,要体现出数学建模的过程。如教材可以从生活中常见 的"梯子问题"出发,引导学生进行讨论,获得"一元二次方程"的模型和近似解:

例4 一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米,那么

(1) 猜一猜,底端也将滑动1米吗?

(2) 列出底端滑动距离所满足的方程。     
(3) 你能尝试得出这个方程的近似解吗?底端滑动的距离比1大,还是比1小?与同学交流 你的想法。

  教材可以再提供一些具体问题中的数量关系,使学生列出有关的一元二次方程,并经历探索 满足方程解的过程,进而产生学习方程一般解法的愿望。在学习了一元二次方程的一般解法 后,教材除了要回顾上述的"梯子问题"外,还可以设立下面的开放性问题:
例5 在一个长为50米、宽为30米的矩形空地上建造 一个花园,要求种植花草的面积是整块空地面积的一半,请展示你的设计。
  这个问题的参与性很强,每个学生都可以展开想像的翅膀,按照自己思考的设计原则, 设计出不同的图案,并尽量使自己的方案定量化,在一些方案的定量化过程中,学生可以体 会到一元二次方程在处理数量关系上的作用,认识到解一元二次方程不是一个机械的计算, 得到的结果必须对具体情况是有意义的,需要恰当地选择解和检验解。

(四) 呈现形式要丰富多彩

  本学段的学生主要借助字母、图形、文字等多种材料从事数学活动。教材呈现形式应多样化 ,可以将实物照片、素描、文字、表格、图形、字母等多种形式结合起来,使学生积极、主 动地参与整个学习过程,加深对所学内容数学意义的理解。如用场景图、实物照片等呈现问 题情境,也可以编排一些有趣的阅读材料,还可以安排多种活动(操作、实验、调查等), 使学生的数学学习密切联系现实世界。素材还应蕴涵丰富的数学思想,使学生在学习过程中 发现其中的数学内涵。如为了加深对乘方的理解,教材可以提供生物学中细胞分裂的实例, 在呈现时可以用细胞分裂图来展示细胞分裂的过程: 每个细胞每次分裂为2个,2个又分裂成 4个,如此下去就构成了1,2,4,8,…这样一组数。这既提高了学生学习数学的兴趣,了 解了数学在其他学科中的应用,又加深了对所学知识的理解。
  丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材,教材应做到图片与启发性问题相结合, 图形与必要的文字相结合,计算与推理相结合,数和形相结合,充分发挥图形直观的作用, 使教材图文并茂,富有启发性。
函数是数与代数中的重要内容,函数有多种表示形式(表格、图象、表达式、语言),教材 要提供多种形式表示函数的例子,从多种角度来认识一次函数、二次函数、反比例函数的意 义,以加深学生对函数思想的理解。

  (五)内容设计要有一定的弹性

  一方面,教材要按照《标准》中指出的要求,保证学生基础知识和基本技能的获得与 一定的训练;另一方面,考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性,教材在保证基本 要求的前提下,要体现一定的弹性,满足学生的不同需求,使全体学生都能得到相应的发展 ,同时便于教师发挥创造性。具体的设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或 开放性问题,以使不同的学生得到不同的发展;提供一定的阅读材料供学生选择阅读;课后 习题的选择与编排应突出层次性,可以设置巩固性练习、 拓展性练习、 探索性问题等多种 层次;在设计课题学习时,所选择的课题要使所有的学生都能参与,在全体学生获得必要发 展的前提下,不同的学生可以获得不同的体验;教材可以编入一些拓宽知识的选学内容,但 增加的内容应注重数学思想方法,注重学生的发展,有利于学生认识数学的本质与作用,增 强对数学的学习兴趣,而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。
  教材可以通过设计具体课题和阅读材料等形式引入计算机、函数计算器等教育技术供有 条件的学生选择使用,使学生将更多的精力投入到有意义的探索性活动中去。如可以探索一 些数量关系、函数的性质、图形的性质;可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形 ;可以利用坐标进行作图,可以从事图案的设计;可以展示丰富多彩的几何图形,可以探索 图形的变化规律等;还可以收集数据、处理数据、模拟概率实验等。

(六)重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则

  《标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标,根据学生的年龄特征、认知规律与知 识特点,在教材编写时,重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的 原则,但要避免不必要的重复。
例如,前两个学段的教材已经渗透了函数的思想,本学段将出现函数的概念。学生对函数概 念的理解也有一个逐步发展的过程,教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的、不断深化的 过程,而不宜集中一次学完,这样有利于学生不断加深对函数思想的理解。又如,在各个年 级、各个领域中都应设计推理和证明的内容,可以按照提出佐证、说理和证明等层次逐步展 开。

  (七)重视知识之间的联系与综合 

  教材要关注数学知识之间的联系,这包括同一领域内容之间的相互连接,也包括选择若干具 体内容,体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联,展示数学的整体性; 教材还应关注数学与现实世界、与其他学科之间的联系。
例如,对于统计与概率的内容,教材应重视渗透统计与概率之间的联系,通过频率来估计事 件的概率,通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计等。教材还应将统计与概率和其他 领域的内容联系起来,从统计与概率的角度为他们提供问题情境,在解决统计与概率问题时 自然地使用其他领域的知识和方法,为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。
对于数与代数的内容,教材要重视有关内容的几何背景,运用几何直观帮助学生理解、解决 有关代数问题。如,根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和(如1+3+5+7+ …可表示为正方形点阵);利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式;利用函数图 象理解函数的变化趋势。
本学段的课题学习将更多体现活动的探索性和研究性,更多地把数学与社会生活和其他学科 知识联系起来,使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系,初步学习研 究问题的方法,提高学生的实践能力和创新意识。课题学习的内容不一定在课内完成,教材 可以设计一些活动,鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动。

  (八)介绍有关的数学背景知识

在对数学内容的学习过程中,教材中应当包含一些辅助材料,如史料、进一步研究的问题、 数学家介绍、背景材料等,还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用(如建筑、计算机科学 、遥感、CT技术、天气预报等),这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解,激发学 生学习数学的兴趣,还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。辅助材料可以 以阅读材料等形式出现。
在数与代数部分,可以穿插介绍代数及代数语言的历史,并将促成代数兴起与发展的重要人 物和有关史迹的图片呈现在学生的面前,也可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些 重要符号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料(如《九章算术》、秦九韶法)、函数 概念的起源、发展与演变等内容。
在空间与图形部分,可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:介绍欧几里得《原 本》,使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值;介绍勾股定理的几个著 名证法(如欧几里得证法、赵爽证法等)及其有关的一些著名问题,使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧,感受勾股定理的丰富文化内涵;介绍机器证明的有关内容及我国数学家 的突出贡献;简要介绍圆周率π的历史,使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值(如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一);结合有关教学内容介绍古希腊及中国古代的割圆术,使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文 化背景下的内涵;作为数学欣赏,介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥 问题等专题,使学生感受其中的数学思想方法,领略数学命题和数学方法的美学价值。
  在统计与概率部分,可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰(Buffon)投针问 题与几何概率等历史事实,统计与概率在密码学等方面的应用,这样可以使学生对人类把握 随机现象的历程有一个了解,对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。

课程资源的开发与利用


  数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种教学资源、工具和场所,主要包括各种实践活动材料、录像带、多媒体光盘、计算机软件及网络、图书馆,以及报刊杂志、电视广播、少年宫、博物馆等。教材编写者、学校管理者、教师和有关人员应因地制宜,有意识、有目的地开发和利用各种资源。以下分别就有关资源的开发和利用提出一些建议。
  (一)实践活动材料
  为了使学生在课堂中能够充分地参与活动,在活动中更好地理解重要的数学概念和方法,各个学校要充分利用并开发实物材料和设备(如计数器、钉字板、立体模型、校园设施)供学生开展实践活动。
  (二)音像资料与信息技术
  可以开发录像带、光盘等音像资料,如录制生活中的一些场景作为与学习内容相适应的问题情境;录制数学在科学技术中的应用;录制数学家的生平或故事;录制教学案例供教师讨论。需要注意的是录像带、光盘的内容不能只是简单重复教师在课堂中的讲解。
  一切有条件和能够创造条件的学校,都应使计算机、多媒体、互联网等信息技术成为数学课程的资源,积极组织教师开发课件。要充分发挥信息技术的优势,为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具;为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会,丰富学生数学探索的视野;为一些有需要的学生提供个体学习的机会,以便于教师为特殊需要的学生提供帮助;为偏远地区的学生提供教学指导和智力资源,更有效地吸引和帮助学生的数学学习。多媒体技术能为教学提供并展示各种所需的资料,包括文字、声音、图像等,并能随时抽取播出;可以创设、模拟各种与教学内容相适应的情境。互联网在教学活动中的应用日益广泛,它在获取资源和进行交流等方面的作用和价值越来越表现出来,它将成为一种不可或缺的课程资源。同时,在互联网上还可以找到很多国内外的数学教育网站。在这些网站中,教师可以收集一些学习素材,下载一些与课程直接相关的内容在教学中应用。有条件的话,教师还应该向学生介绍一些好的网站供学生选择,鼓励并引导学生通过网络来获取信息,进行交流。
  需要注意的是,我们不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的实践活动(如在计算机上模拟"倒砂子实验",以使学生理解等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系);我们不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想像,来代替学生对数学规律的探索。同时,学校之间要加强交流,共享资源,避免课件的低水平重复,也可以积极引进国外先进的教育软件,并根据本学校学生的特点加以改进。
  (三)其他学科的资源
  要将数学与其他学科密切联系起来,从其他学科中挖掘可以利用的资源(如自然现象、社会现象和人文遗产)来创设情境,利用数学解决其他学科中的问题。例如可以展现细胞分裂的过程(1个分裂成2个,再逐步分裂成4,8,16,…),使学生更好地理解平方的概念;可以让学生通过收集和分析数据,研究影响单摆周期的因素;可以让学生从数学的角度去研究环保问题。
  (四)课外活动小组

  学校可以开展数学课外小组活动,用以激发学生的学习兴趣,引导学生深入学习,培养学生的实践能力,发展学生的个性与创新精神。在课外活动小组中,教师还可以向学生提供一些阅读材料,内容可以包括数学在生活中的应用、趣味数学、数学史和数学家的故事、扩展性知识等,用来拓宽学生的学习领域,激发学生学习数学的兴趣。
  需要注意的是,课外小组应由学生自愿参加,避免使之成为竞赛的工具。阅读材料的编写要符合学生的认知特征和生活经验,并由学生选择阅读。
  (五)图书馆资源
  学校图书馆应该基本满足学生课外阅读的需要,这对于扩大学生的知识面,激发学生学习数学的兴趣都起着重要的作用。目前大多数学校的图书馆除了书籍数量太少外,一个主要问题是数学辅导类图书所占的比例太大,这样的局面必须改变。学校还应充分利用校外的图书馆,用以开阔学生的视野,丰富教师的教学资源。
  (六)报刊杂志、电视广播等媒体
  报刊杂志、电视广播等媒体提供了许多有意义的问题,教材编写者和教师要充分地从中挖掘适合学生学习的素材。教师还可以向学生介绍电视中与数学有关的栏目,组织学生对某些内容进行交流。
  (七)社区、少年宫、博物馆等活动场所
  学校要充分利用社区、少年宫、博物馆等活动场所,一方面可以从这些场所中寻找合适的学习素材,如学生感兴趣的自然现象和社会问题,一方面可以组织学生开展活动,如参观博物馆中的人文遗产,这样可以激发学生的学习兴趣,培养学生的实践能力。
  (八)智力资源
  应充分利用学校和社会上的智力资源,如邀请有关专家为学生和教师讲课、就一些问题向专家请教、查阅有关数学教育的国际资料。
  为了有效地开发数学课程资源,有必要制定数学课程资源的评价标准,包括鼓励社会参与,规范申报手续,规定课程资源的基本要求(如启发性、创新性、实用性),制定合理价格,鼓励有序竞争等各个方面。

 



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